Aritmetička sekvenca je bilo koja sekvenca brojeva u kojoj se uzastopni brojevi razlikuju za fiksnu razliku. Prvu formalnu studiju ovih sekvenci izveo je Carl Gauss, iako su njegovi prvi doprinosi uglavnom ostali anegdotski. Kaže se da je Gauss izračunao zbroj prvih 100 celih brojeva kada je imao 9 godina bez ikakve olovke ili papira. Iako nema dokaza o ovoj priči, Gauss je u svojoj studiji diskretne matematike u velikoj meri koristio aritmetičke sekvence progresije. Matematičari kao što su Paul Turan, Erdos, Endre Szemeredi dali su dodatne doprinose pretpostavljajući i dokazujući nekoliko teorema vezanih za aritmetičku progresiju / niz.

Definicije aritmetičkog niza

Aritmetička progresija ili aritmetička sekvenca mogu se zvanično definisati kao aritmetički niz ili je progresija definisana kao niz brojeva u kojima se za svaki par uzastopnih članova dobija drugi broj dodavanjem fiksnog broja prvom.

Uobičajena razlika je definisana kao fiksni broj koji se mora dodati bilo kom pojmu u aritmetičkoj progresiji da bi se dobio sledeći broj u nizu. Prvi član aritmetičke progresije je broj sa kojim serija počinje. Prvi pojam se obično definiše tokom definisanja serije. Nije neophodno da aritmetička progresija ima prvi pojam.

Opšti oblik aritmetičke progresije je a1, a2, a3, ……………., an, gde su a2 – a1 uobičajena razlika. Poslednji pojam aritmetičke progresije može se definisati kada se progresija definiše. Nije neophodno da aritmetička progresija ima poslednji pojam. Beskonačne aritmetičke serije su aritmetička progresija gde prvi i poslednji član nisu definisani. Serija se proteže od negativne do beskonačne beskonačnosti.

Notacijski aritmetički niz

Opšta aritmetička progresivna sekvenca označava se sa a1, a2, a3, ……………., an, gde je a2 – a1. Slovo „a“ označava različit aritmetički niz. Indeks slova označava serijski broj pojma. Na primer, a10 označava 10. član u aritmetičkoj sekvenci, a a1 prvi član u nizu. Slovo „d“ označava zajedničku razliku aritmetičke progresije. Tako se uzastopni pojmovi mogu predstaviti kao a2 = a1 + d i tako dalje. Sn se koristi za označavanje zbira aritmetičke progresije od početnog do n-tog člana. Vrednost n je promenljiva. Ovaj zapis nije univerzalan. Nekoliko izvora koristi različite oznake za iste pojmove. Ali ovde pomenuti zapisi se uglavnom široko koriste.

Važne formule

Evo nekoliko formula koje su ključne za rešavanje problema povezanih sa aritmetičkom progresijom.

Ova formula se koristi za određivanje n-tog člana aritmetičkog niza.

Ova formula se koristi za pronalaženje zbira aritmetičkog niza do n članova.

Ova formula se koristi za pronalaženje zbira aritmetičkog niza kada je poznata vrednost n-tog člana.

Za pronalaženje drugih parametara koriste se razne druge formule. Te formule se mogu izvesti iz gornjih formula ili iz osnovnih definicija aritmetičkih progresija.

Primene aritmetičke sekvence u stvarnom životu

Razni problemi iz stvarnog života rešeni su pomoću aritmetičkih progresija. Aritmetičke progresije i bilo koja teorija serija, uopšte, mogu se primeniti na bilo koje pitanje koje pokazuje obrazac. Ljudi su predvideli erupcije Old Faithful-a, aktivnog gejzira u nacionalnom parku Yellowstone koristeći aritmetičke progresije. Taksi za određene udaljenosti takođe se izračunavaju pomoću aritmetičkih progresija. Ove metode koriste aplikacije kao što su OLA i Uber za predviđanje cena taksija.